확률 · 제4회

평균이 같아도두 반의 평균 점수가 같은데, 왜 느낌이 전혀 다를까?

3회에서 ‘평균(기댓값)’을 배웠죠. 그런데 평균만으론 부족해요. 한 반은 다들 고만고만하고, 다른 반은 최상위와 최하위가 극과 극일 수 있어요. 이 흩어짐을 재는 게 분산·표준편차입니다.

01평균은 같은데 느낌이 다르다

평균 70점인 두 반. A반은 다 65~75점, B반은 40점과 100점이 섞여 평균만 70. 같은 평균인데 어떻게 다름을 숫자로 나타낼까요?

각 값이 평균에서 얼마나 벗어났는지를 제곱해 평균낸 게 분산, 그 제곱근이 표준편차 σ예요.

02직접 해보기 — 흩어짐 σ

표준편차 σ를 키우면 종 모양이 넓고 낮게 퍼지고, 줄이면 좁고 높게 모여요. 색 띠는 ±1σ(68%)·±2σ(95%)·±3σ(99.7%) 구간이에요.

2.0
±1σ 안 68%±2σ 안 95%±3σ 안 99.7%
σ를 키우면 넓게 퍼지고, 줄이면 좁게 모여요.

정규분포에선 어떤 σ든 평균 ±1σ 안에 약 68%, ±2σ 안에 약 95%가 들어요(68–95–99.7 법칙). 그래서 σ만 알면 ‘얼마나 드문 일인지’를 바로 알 수 있죠 — 3회의 p값이 여기서 나와요.

03분산 = 편차²의 평균

분산 σ² = 평균( (값 − 평균)² ), 표준편차 σ = √분산

벗어남을 제곱하는 건 부호를 없애고 큰 이탈에 더 벌점을 주기 위해서예요. σ는 투자 위험·품질관리·측정 오차·신뢰구간의 공통 언어 — ‘평균’과 짝을 이루는 세상의 두 번째 숫자예요.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교분산·표준편차·정규분포흩어짐의 척도, 68–95–99.7 법칙, 표준화 z점수.
학부적률·공분산·상관분산·왜도·첨도, 두 변수의 공분산·상관계수, 중심극한정리와의 연결.
대학원공분산행렬·다변량정규·집중부등식고차원 분산 구조, 체비쇼프·호에프딩 등 집중부등식.

다음 회 예고 — 드문 사건이 흩뿌려 일어나는 횟수는? 사고·대기줄·방사선을 세는 포아송 분포로. → 확률 제5회

『수요를 따라가는 수학 · 확률』 제4회. 정규분포·표준편차 시뮬레이터 + 68–95–99.7 + 자동채점. · 확률방으로