확률 · 제3회

평균적으로 얼마를이 게임, 할까 말까? — 로또·보험·도박의 판단 기준

1·2회에서 확률과 조건부확률을 봤죠. 이제 “그래서 얼마를 딸(잃을) 것인가”를 하나의 숫자로 답해요. 값에 확률을 곱해 더한 기댓값 — 도박꾼도 보험사도 이걸로 결정합니다.

01할까, 말까

주사위를 던져 6이 나오면 상금을 받고, 아니면 1,000원을 잃는 게임. 여러 번 하면 평균적으로 이득일까요, 손해일까요?

각 결과의 값 × 확률을 모두 더하면 기댓값 — 한 판당 평균 손익이에요. 직접 계산하고 수천 판 돌려봐요.

02직접 해보기 — 기댓값과 실제 평균

상금을 슬라이더로 바꾸면 기댓값이 변해요. 버튼으로 판을 돌리면 실제 평균 손익(초록)이 기댓값(점선)에 다가가요 — 큰 수의 법칙!

6000원
기댓값 E = 원/판
판수 0총손익 0원평균 0원/판
상금을 정하고 판을 돌려보세요.

기댓값이 0보다 크면 유리, 0이면 공정한 게임, 0보다 작으면 불리해요. 카지노·로또는 기댓값이 손님에게 음수라서 오래 할수록 손님이 잃어요. 보험사는 반대죠.

03기댓값 = 값 × 확률의 합

E[X] = Σ (결과값 × 그 확률)

이 게임: E = (1/6)×상금 + (5/6)×(−1000). 많이 하면 실제 평균이 반드시 E로 수렴(큰 수의 법칙). 보험·투자·의사결정·강화학습이 모두 기댓값 위에서 돌아가요.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교기댓값·분산E[X]=Σ값×확률, 평균과 흩어짐(분산·표준편차), 공정한 게임.
학부기대·모멘트·기대효용연속확률변수의 기대(적분), 위험 회피를 담는 기대효용 이론.
대학원측도적분 기대·조건부기대·마팅게일일반 확률공간의 기대, 조건부기대 E[X|F]. 금융·강화학습의 핵심.

다음 회 예고 — 결과가 평균에서 얼마나 흩어질까? 위험을 재는 분산·표준편차와 정규분포로. → 확률 제4회

『수요를 따라가는 수학 · 확률』 제3회. 기댓값 게임 시뮬레이터 + 큰 수의 법칙 + 자동채점. · 확률방으로