단위근부터 베이지언 VARX까지 — 개념 배움터

둘 다 떠돌지만, 나란히 떠돈다면?

산업 부가가치와 총량GDP가 장기균형을 이루면, 그 이탈(오차수정항 ECT)이 다음 기 성장을 되돌린다. 이것이 VECM의 근거다.

# Engle–Granger 2단계
resid = logVA_i - (b0 + b1*logGDP)
adf_t(resid)   # 정상이면 공적분 → ECT 사용(VECM)

오차수정항

ECT_t-1 = logVA_i,t-1 − logGDP_t-1. VECM은 성장식에 이 항을 넣어 "장기균형으로의 복귀"를 반영한다. 우리 검정에서는 차분·VARX가 더 안정적이었지만, 공적분이 강한 경우 VECM이 유용하다.

Δy_t = c + A·Δy_{t-1} + γ·ECT_{t-1} + e_t
#            γ<0 : 균형 이탈을 되돌림

서로의 과거로 서로를 설명

각 산업 성장을 모든 산업의 과거 성장으로 회귀한다(자기+교차). 산업 간 파급을 담지만, 계수가 많아 과적합에 약하다 → 사전분포로 수축한다.

Yt = c + A1·Y_{t-1} + ... + e_t   # Y=[반도체,이차전지,신재생] 성장

바깥 조건(외생)을 함께

내생변수(내부 조건)는 모형이 함께 예측하는 대상, 곧 62·69개 산업의 실질부가가치(성장률) 그 자체이다. 이들이 서로의 과거로 서로를 설명한다. 여기에 외생변수 X(바깥 조건)를 더한 것이 VARX이다. BOKDPM이 만든 S1~S5 외생경로를 넣으면 산업별 시나리오 전망이 나온다. 외생이 없는 순수 VAR로는 시나리오 조건화가 불가능하다 — 그래서 우리는 VARX를 채택했다.

Yt = c + A·Y_{t-1} + B·X_t + e_t   # X=외생 6종(유가·세계수요·실질금리·실질환율·고용·우리경기)

차분 + 균형 복귀

공적분이 있으면 차분만으로는 장기정보를 버리게 된다. VECM은 ECT를 넣어 이를 살린다. 외생을 더하면 VECMX. 우리 12옵션 격자에 함께 넣어 비교했다.

ΔYt = c + Γ·ΔY_{t-1} + α·(β'·Y_{t-1}) + e_t

무엇을 고를까 — 실측으로 비교

(차분/수준/VECM) × (미네소타/산업연관표) × (VARX/VAR). 세 산업단위 모두 차분·산업연관표·VARX가 valid에서 가장 안정적이었다.

for 명세 in [차분,수준,VECM]:
  for 사전 in [minnesota,io]:
    for 외생 in [varx,var]:
       RMSE(train, valid, test)

자기 시차는 살리고, 교차·먼 시차는 0으로

계수 사전분산을 자기 1차 시차는 크게, 교차·먼 시차는 작게(→0으로 수축) 둔다. 데이터가 강하게 말하면 그 방향으로, 아니면 0 근처에 머문다. 릿지 회귀와 통한다.

아래 그림 읽는 법: 세 칸은 계수의 종류다. 색이 진할수록 그 계수를 데이터가 자유롭게 정하도록 느슨하게 두고, 옅을수록 0에 가깝게 눌러(수축) 과적합을 막는다. 즉 자기1차(자기 자신의 바로 지난 분기)는 살리고, 교차(다른 산업의 영향)와 먼시차(먼 과거)는 강하게 눌러 0으로 보낸다.

V(자기1차)=λ²/l²           # 느슨
V(교차)   =(λ²/l²)(σi²/σj²) # 더 수축  (l=시차, λ=전체수축)

연관이 강한 산업끼리만 느슨하게

미네소타는 모든 교차를 똑같이 수축한다. IO 사전은 생산유발계수(레온티에프 역행렬)로 연관 강도를 재서, 강하면 느슨·약하면 0으로 차등 수축한다. 반도체↔전자, 이차전지↔전기장비처럼 실제 연결을 반영한다.

V(교차) *= (연관강도_ij + 0.05)   # 강한 쌍만 느슨, 약하면 0

사후를 직접 못 풀 때, 표본으로

마르코프 연쇄(직전 값에만 의존)를 사후분포가 정상분포가 되도록 설계해 오래 돌리면, 그 표본이 사후분포를 대표한다. 표본평균 ≈ 사후평균.

chain=[]; θ=시작값
for i in range(N):
    θ = 다음_표본(θ)      # 사후를 정상분포로 갖는 전이
    chain.append(θ)
posterior_mean ≈ mean(chain[burnin:])

제안하고, 좋으면 받고 나쁘면 가끔 받기

수용확률 min(1, 사후(후보)/사후(현재)). 이 간단한 규칙만으로 표본이 사후분포로 수렴한다. 아래에서 반도체 성장률 평균 μ의 사후를 MH로 추정해 보라 — 해석적 값과 일치한다.

cand = θ + 정규난수(0, step)
if log(rand()) < logpost(cand) - logpost(θ):
    θ = cand            # 수용 (아니면 현재값 유지)

제일 잘 맞힌 모형을 왜 안 썼나?

예전 설명에는 1등이 아닌 4등을 골랐다고 되어 있었으나, 12옵션을 다시 추정한 현재는 채택 모형(VARX·로그차분·산업연관표 프라이어)이 검증 RMSE 1위이다. 즉 정확도를 희생하지 않고 시나리오 기능을 확보했다. 시험구간에서 외생 없는 VAR이 근소하게 앞서는 경우조차 차이는 RMSE 0.02 안팎이며, 그 VAR로는 시나리오 조건화가 불가능하다.

다섯 갈래의 폭 = 확률인가?

아니다. S1~S5는 확률분포가 아니라 "이런 일이 벌어지면"이라는 조건부 가정이다. 따라서 다섯 갈래의 넓이를 보고 "미래가 이 안에 있을 확률 몇 %"라고 말할 수 없다. 확률의 구간이 아니라 가능한 몇 가지 그림으로 읽어야 한다.

1분기 잘 맞힌 걸로 10년을 믿나?

모형 선택은 바로 다음 분기 예측오차로 했지만, 내놓는 것은 10년 경로다. 단기 적합이 장기를 보장하지는 않으므로, 장기의 신뢰는 세 가지로 보강한다 — (1) 외생 시나리오의 타당성(거시엔진 BOKDPM), (2) 총량 정합(탑다운 조정으로 전체 성장을 타당한 수준에 고정), (3) 산업연관 구조(산업 간 관계 사전).

산업들 다 더하면 나라 전체랑 맞나?

과거 데이터에서는 구축 단계에서 산업 합 = 총계가 정확히 성립한다. 미래 예측에서는 산업을 따로 예측해 더하면 총계와 어긋날 수 있어, 탑다운 비례배분으로 산업 구성비는 유지하되 합이 총량 전망과 정확히 맞도록 조정한다. 36·62·69도 같은 총계로 환원되도록 구축한다.

과거 없는 신산업은 어떻게 했나?

반도체·이차전지·신재생은 과거 기록이 짧거나 없어, 부모 산업(전자부품·전기장비·전기·가스)에서 관측 가능한 실측 시변 비중(KOSIS 산업통계·전력 발전비중)으로 분리한다. 따라서 이들의 10년 전망은 임의로 채운 가정이 아니라, 실측 비중 × 모형이 예측한 부모 산업 경로로 만들어진다.