방법론 · 그림책

VAR·VARX 16개 모형 — 설계와 추정계수 읽는 법

산업별 실질부가가치를 서로 물고 물리는 관계로 함께 예측하는 모형(VAR·VARX)을 어떤 조합으로 몇 개나 추정하는지, 그리고 실제로 나온 계수 하나하나가 무슨 뜻인지 정리합니다.

1. 16개 모형 = 4개 축 × 2가지

산업 간 상호작용을 보는 방식(VAR·VARX), 그 안의 계수를 어떻게 정하는지(프라이어), 어느 해상도로 볼지(빈도), 어떤 형태로 볼지(변환) — 이 4개 축을 각각 2가지씩 조합하면 2×2×2×2=16개 모형이 나옵니다.

2. 미네소타 프라이어 — "모르면 0, 그러나 믿음의 크기는 다르게"

산업이 36개(또는 69개)면 각 산업의 방정식에 모든 산업의 과거 몇 분기 값이 다 들어갑니다. 예를 들어 36개 산업 × 4개 시차만 해도 방정식 하나에 회귀변수가 144개 — 표본(분기 수)보다 변수가 많아 그냥 최소자승으로는 추정이 불안정해집니다. 이걸 막는 게 프라이어(사전믿음)입니다.

미네소타 프라이어의 규칙은 단순합니다 — "다른 산업의 과거 값이 내 산업에 주는 영향은 일단 0이라고 믿는다". 다만 그 믿음의 강도(분산)는 산업마다 다르게 둡니다 — 원래 변동성이 큰 산업(예: 공공행정처럼 들쭉날쭉한 산업)은 사전분산을 크게(믿음을 약하게), 변동성이 작은 산업은 사전분산을 작게(믿음을 강하게) 잡아, 실제 데이터가 그 믿음을 얼마나 뒤집을 수 있는지 자연스럽게 조절합니다.

3. 산업연관표 후방연쇄 프라이어 — "원래 거래가 많으면 관계가 있다고 본다"

미네소타 프라이어는 산업 간 관계를 전혀 모른다고 가정하고 출발합니다. 반면 산업연관표에는 "어느 산업이 어느 산업의 원재료·부품을 얼마나 사 쓰는지"가 이미 나와 있습니다 — 예를 들어 자동차 산업은 1차금속(철강) 산업의 산출을 많이 사다 씁니다. 이런 실제 거래 관계가 강한 산업쌍에는 사전평균을 0이 아닌 양(+)의 값으로 주고, 관계가 약한 산업쌍은 그대로 0에 가깝게 둡니다. 두 프라이어를 나란히 추정해 비교하면, "정말 산업연관표가 말해주는 산업 간 관계가 예측력을 높이는지"를 데이터로 확인할 수 있습니다.

4. 실제로 나온 계수, 무슨 뜻인가

지금 이 페이지에서 보여주는 건 16개 중 VARX × 미네소타 프라이어 × 36개산업·분기 × 로그차분 한 칸의 실제 추정 결과입니다(1990년대 이후 표본, 내생시차 4개·외생시차 3개· 위기더미 3개를 포함).

5. 대표모형은 어떻게 고르나 — train · validation · test

미네소타 프라이어에는 "산업 간 관계를 얼마나 강하게 믿을지"를 정하는 수축강도(람다, lambda)라는 하이퍼파라미터가 있습니다. 이 값을 임의로 고정하면 안 되고, 다음처럼 3구간으로 나눠 정하는 것이 원칙입니다.

람다 후보값을 여러 개 놓고 validation 구간에서 예측오차가 가장 작은 람다를 고른 뒤, 그 람다로 확정한 모형의 실제 성과는 한 번도 보지 않은 test 구간에서 측정해 보고합니다 — validation 구간 성과로 대표모형의 우수성을 주장하면 그 구간에 맞춰 고른 람다이므로 낙관 편향이 생기기 때문입니다. BOKDPM(베이지언 재추정) 쪽도 같은 원칙 — 사전분포·초기조건은 validation 구간까지로 다듬고, 실제 예측력은 test 구간에서 확인합니다.

6. 실제로 train·validation·test를 나눠 4개 모형을 비교한 결과

36개 산업 분기자료(미네소타 프라이어, 산업연관표 프라이어는 다음 단계)로 VAR·VARX × 로그차분·로그수준 4개를 실제로 추정했습니다. 마지막 8개 분기를 test로, 그 앞 8개 분기를 validation으로 떼어두고, validation 구간 1기전망 오차가 가장 작은 람다를 후보 11개 중에서 골라 확정한 뒤, test 구간에서 그 모형의 진짜 예측 성과를 쟀습니다.

지금까지 결과로는 VARX·로그차분이 test 구간 예측오차가 가장 작아 대표모형입니다. 다만 로그수준 모형의 오차가 로그차분보다 훨씬 크다는 것 자체가 중요한 신호입니다 — 수준 그대로는 산업 간 장기적인 균형관계(공적분)를 못 잡아내고 있다는 뜻이고, 이 균형관계를 명시적으로 반영하는 VECM·VECMX(오차수정모형)가 로그수준 계열에서 훨씬 나은 성과를 낼 가능성이 높다는 근거이기도 합니다. VECM·VECMX는 공적분 순위(몇 개의 장기균형관계가 있는지)를 먼저 정한 뒤 그 조건 위에서 단기계수를 추정해야 해서 별도 단계로 진행합니다.

7. 69개 산업·월별로도 같은 비교를 해봤더니 — 해상도에 따라 결론이 다르다

36개 산업·분기와 별개로, 76개 산업(신산업 포함)·월별 자료에도 똑같은 절차(train/ validation/test, 람다 탐색)를 적용했습니다. 월별은 내생시차 12개월(1년치), 외생시차 3개월을 사용했고, 외생변수 6종도 분기 집계본이 아니라 월별 원자료로 새로 구축했습니다.

분기 해상도에서는 외생변수가 도움이 되지만(VARX가 VAR을 이김), 월별 해상도에서는 거꾸로 외생변수 없는 VAR이 근소하게 더 낫습니다. 두 해상도의 RMSE 숫자를 그대로 비교하면 안 됩니다(분기 증가율과 월 증가율은 원래 스케일이 다름) — 각 해상도 "안에서"의 비교만 의미가 있습니다. 해석: 분기 단위에서는 유가·금리·환율 같은 거시충격이 한 분기 안에 누적돼 뚜렷한 신호로 잡히는 반면, 월별에서는 같은 충격이 아직 산업 활동에 다 전달되지 않은 채 노이즈에 가깝게 섞여 들어가 오히려 과적합 위험만 키우는 것으로 보입니다.

8. VECM·VECMX — 산업연관표로 공적분 관계를 제한해서 추정

36개 산업 전체를 대상으로 Johansen 검정을 하면(36차원, 관측치 ~140개) 통계적으로 불안정해지기 쉬워서, 대신 산업연관표 국산투입계수(2014년, 산업연관표 원자료)로 "어느 산업이 어느 산업의 원재료·부품을 실제로 많이 사는지"부터 계산하고, 그 1순위 거래 상대와만 공적분 관계를 검정(Engle-Granger)했습니다. 그 결과 36개 산업 중 18개에서 실제로 공적분(장기 균형관계)이 확인됐습니다 — 예: 1차금속↔금속가공제품, 화학물질↔코크스및석유정제품, 컴퓨터·전자↔기계장비, 토목건설↔비금속광물제품. 전부 실제로 거래가 많은, 상식적으로도 말이 되는 산업쌍입니다. 이 18개 산업만 오차수정항(장기균형에서 벗어난 정도)을 추가 회귀변수로 넣고, 나머지 18개는 오차수정항 없이 추정했습니다.

오차수정항을 넣자 test RMSE가 6.27→3.90으로 거의 절반 가까이 줄었습니다 — "로그수준 모형이 놓치고 있던 게 정말 장기균형관계였다"는 가설이 실제 데이터로 확인된 것입니다. 다만 여전히 VARX·로그차분(3.15)에는 못 미칩니다 — 이 산업 시스템에서는 "매 분기 증가율 자체의 관성+외생충격"을 보는 게, "장기균형에서 벗어난 정도를 되돌리는 힘"을 보는 것보다 아직은 더 예측력이 좋다는 뜻입니다.

9. 산업연관표 후방연쇄 프라이어 — 미네소타와 정면 비교

미네소타 프라이어는 "교차산업 계수는 일단 0이라고 믿는다"였는데, 이번엔 그 사전평균을 0 대신 실제 국산투입계수(그 산업쌍이 서로 얼마나 많이 사고파는지, 행별로 정규화)로 채운 버전을 똑같은 조건(같은 사전분산, 같은 train/val/test)으로 8칸 전부 추정해 정면 비교했습니다 — "프라이어 평균을 다르게 준 효과"만 순수하게 비교되도록 나머지는 전부 동일하게 뒀습니다.

10. 16개 모형 최종 순위 (test RMSE 기준)

산업연관표 프라이어는 미네소타를 근소하게 이기지 못했습니다(1~4위가 사실상 동률권, 0.01~0.09 RMSE 차이로 통계적으로 유의한 차이라 보기 어려움). 즉 "산업연관표가 말해주는 거래관계를 사전평균에 직접 넣는 것"보다는, "일단 모르는 걸로 두고 데이터가 알아서 학습하게 하는 것"(미네소타)이 최소한 이 표본에서는 똑같이 잘 작동하거나 아주 살짝 더 낫습니다 — 산업연관표 정보가 무의미하다는 뜻이 아니라, VECM(장기균형 자체를 명시적으로 넣는 방식)에서처럼 "어디에" 산업연관표 정보를 넣는지가 "그냥 사전평균에 약하게 넣는 것"보다 중요하다는 뜻으로 해석하는 것이 맞습니다.

11. 16칸 전부 실측 완료