벡터 · 제3회

흔들리지 않는 방향공간을 변환하면 대부분 방향이 바뀐다 — 그런데 안 바뀌는 특별한 축이 있다

2회에서 행렬이 공간을 통째로 변환하는 걸 봤죠. 대부분의 화살표는 방향이 틀어져요. 그런데 딱 몇 방향은 방향은 그대로, 길이만 변해요. 그게 고유벡터, 그 배율이 고유값입니다.

01방향이 안 바뀌는 화살표

행렬 A를 벡터 v에 곱하면 보통 회전+신축이 일어나요. 하지만 어떤 v는 Av가 v와 같은 직선 위에 남아요. 그런 방향을 찾을 수 있을까요?

아래에서 파란 벡터 v를 빙 돌려보며, 변환된 Av(금색)가 v와 나란해지는 순간을 찾아보세요!

행렬 A = [2 1 ; 1 2]. v를 회전시키면 Av가 따라 움직여요. 둘이 일직선이 되면 v는 고유벡터, 그때 Av 길이 ÷ v 길이 = 고유값 λ!

v의 각도 θ =20°

v = (, ) · Av = (, )

v를 돌려 Av가 v와 나란해지는 각을 찾아보세요.

나란해지는 방향은 딱 둘 — 45°(및 225°)에서 λ=3(3배로 늘어남), 135°(및 315°)에서 λ=1(그대로). 이게 이 변환의 고유값과 고유벡터예요. 대칭행렬이라 두 고유벡터가 직각이죠.

A v = λ v (v ≠ 0)

‘변환해도 방향이 그대로(길이만 λ배)’인 벡터가 고유벡터. 반복 변환·진동·안정성이 이 축을 따라 단순해져요. 구글 페이지랭크·주성분분석(PCA)·양자역학·구조진동이 전부 고유값 문제예요.

점수 0 / 0

고교고유값·고유벡터 뜻Av=λv의 방향(고유벡터)과 배율(고유값), 특성방정식 det(A−λI)=0.

학부대각화·스펙트럼 정리고유벡터로 좌표를 바꾸면 변환이 대각행렬로 단순화. 대칭행렬은 직교대각화.

대학원SVD·스펙트럼 이론·PCA특이값 분해, 무한차원 연산자의 스펙트럼. 데이터 압축·페이지랭크·양자.

다음 회 예고 — 수천 차원 데이터에서 ‘가장 중요한 방향’을 뽑아내는 주성분분석(PCA) — 고유벡터의 실전 응용으로. → 벡터 제4회

『수요를 따라가는 수학 · 벡터』 제3회. 고유벡터 사냥 시뮬레이터 + Av=λv + 자동채점. · 벡터방으로