벡터 · 제2회
1회에서 벡터(방향 있는 수)를 만났죠. 이제 수많은 벡터를 한꺼번에, 같은 규칙으로 바꾸고 싶어요 — 회전·확대·기울이기. 이 ‘공간 전체를 변환하는 규칙’이 행렬이에요.
그림을 30° 돌리려면 모든 픽셀을 옮겨야 해요. 점마다 규칙을 따로 쓰면 끝이 없죠. 한 번에 정할 방법은?
비밀 — 기준 벡터 î(오른쪽), ĵ(위)가 어디로 가는지만 정하면, 나머지 모든 점의 운명이 따라 정해져요. 그 두 목적지를 적은 표가 행렬!
2×2 행렬의 네 값을 바꿔 파란 정사각형(단위 격자)이 어떻게 변형되는지 봐요. î는 첫 열, ĵ는 둘째 열로 가요.
행렬식(det)은 넓이가 몇 배로 커지는지예요. det=2면 넓이 2배, det=1이면 그대로. det=0이면 납작하게 찌부러져(넓이 0) 되돌릴 수 없어요(역행렬 없음). 음수면 좌우가 뒤집힌 거예요.
[ a b ; c d ] : î→(a,c), ĵ→(b,d), det = ad−bc
기준 벡터 두 개의 행선지만 정하면 모든 벡터의 변환이 결정돼요. 변환을 이어 붙이면 행렬 곱. 이 언어로 컴퓨터그래픽·로봇·데이터(PCA)·양자역학이 돌아가요.
다음 회 예고 — 변환에도 흔들리지 않는 특별한 방향이 있어요. 구글 페이지랭크·주성분분석의 심장, 고유값·고유벡터로. → 벡터 제3회
『수요를 따라가는 수학 · 벡터』 제2회. 2×2 일차변환 시뮬레이터 + 행렬식 + 자동채점. · 벡터방으로