벡터 · 제1회

방향을 가진 수강물 위의 배는 어디로 갈까? — 크기만으론 부족하다

배는 엔진으로 앞으로 가는데 강물이 옆으로 밀어요. 실제로 배가 가는 방향은? ‘3’이나 ‘5’ 같은 숫자만으론 답할 수 없어요. 크기와 방향을 함께 가진 수 — 벡터가 필요합니다.

01크기만으론 답이 안 나온다

엔진은 오른쪽으로, 강물은 위로 민다면 배는 대각선으로 흘러가요. 두 ‘밀기’를 어떻게 하나로 합칠까요?

힘·속도·바람처럼 방향이 있는 양은 화살표로 그려요. 그리고 화살표끼리 더하는 규칙이 바로 벡터 덧셈입니다.

02직접 해보기 — 두 화살표를 더하다

파란 점(a)과 초록 점(b)을 드래그해 봐요. 두 벡터로 만든 평행사변형의 대각선이 합 a+b예요.

a = (, ) b = (, ) a+b = (, ) |a+b| = a·b =
두 점을 드래그해 배가 갈 방향(노란 화살표)을 만들어 봐요.

규칙은 놀랄 만큼 간단해요 — 성분(가로·세로)끼리 그냥 더하면 끝. (a₁,a₂) + (b₁,b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂). 화살표를 이어 붙이든 평행사변형을 그리든 결과는 같아요.

03덧셈, 그리고 ‘얼마나 같은 방향인가’ — 내적

a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b|cos θ

두 벡터를 곱하는 내적은 “둘이 얼마나 같은 방향을 보는가”를 하나의 숫자로 알려줘요. 직각이면 0, 같은 방향이면 큰 양수, 반대면 음수. 이 하나가 물리(일·에너지)·컴퓨터그래픽·AI(유사도)를 떠받쳐요.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교성분·크기·내적벡터를 (x,y)로 쓰고, 크기는 피타고라스로, 방향의 닮음은 내적으로.
학부벡터공간·선형독립·기저화살표를 넘어 ‘더하고 상수배 할 수 있는 모든 것’으로 일반화. 차원·기저의 언어.
대학원내적공간·힐베르트공간내적을 무한차원으로. 함수도 벡터 — 푸리에·양자역학·머신러닝의 토대.

다음 회 예고 — 무작위로 흔들리는 값의 ‘변화’는 어떻게 다룰까? 주가·입자의 떨림을 미분하는 확률미적분으로. → 확률미적분 제1회 · 흔들리는 변화

『수요를 따라가는 수학 · 벡터』 제1회. 드래그 평행사변형 + 내적 + 자동채점. · 벡터방으로