확률미적분 · 제6회
확률미적분방의 마지막 — 마르코프 연쇄예요. 오늘 날씨로 내일을 예측하듯, 미래가 현재에만 달린 과정이죠. 신기하게도 이런 과정은 장기적으로 일정한 비율(정상분포)에 정착해요 — 구글 페이지랭크의 뿌리이기도 하죠.
맑은 날 다음은 맑을 확률이 높고, 비 온 날 다음은 비 올 확률이 높아요. 어제·그제는 몰라도 ‘오늘’만 알면 내일을 예측하죠. 그럼 장기적으로 맑은 날 비율은 얼마일까요?
이 ‘현재만으로 미래’ 성질이 마르코프 성질. 오래 돌리면 정상분포라는 고정 비율로 수렴해요.
맑음 유지 확률과 비 유지 확률을 바꿔 보세요. 오래 시뮬레이션하면 맑은 날 비율이 정상분포 값으로 수렴해요.
정상분포는 π(맑음) = (1−b) / (2−a−b) — 처음 날씨가 뭐였든 장기 비율은 똑같아요. 이 ‘장기 균형 분포’를 구하는 게 마르코프 연쇄의 핵심이고, 웹페이지를 이 방식으로 랭킹한 게 페이지랭크예요.
P(내일 | 오늘, 어제, …) = P(내일 | 오늘) → 장기 정상분포 π
미래가 현재 상태에만 의존(과거 무관)하는 게 마르코프 성질. 전이를 계속 곱하면 고정된 분포 π로 수렴해요(π = πP). 페이지랭크·음성인식(HMM)·유전자·금융·MCMC가 전부 이 위에 있어요.
확률미적분 6부작 완주! — 랜덤워크부터 마르코프 연쇄까지, 무작위 과정의 수학을 훑었어요. 궁금한 건 방의 Q&A 봇에! 🎉
『수요를 따라가는 수학 · 확률미적분』 제6회. 마르코프 연쇄·정상분포 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률미적분방으로