확률미적분 · 제4회
3회의 무작위 계산에 이어, 이제 무작위 속에서 언제 멈출지를 정해요. 지원자를 한 명씩 면접하며 즉석에서 뽑거나 보내야 하고 결정은 되돌릴 수 없어요. 최고를 뽑을 확률을 최대로 하는 전략 — 최적 정지입니다.
20명을 무작위 순서로 면접해요. 각자를 본 즉시 채용(끝) 또는 탈락(영영 못 부름). 너무 일찍 뽑으면 뒤의 더 좋은 사람을 놓치고, 너무 늦으면 좋은 사람을 이미 보냈죠. 언제 결정할까요?
전략: 처음 k명은 보기만 하고(기준 수집), 그 뒤 지금까지 최고보다 나은 첫 사람을 뽑기. 최적의 k는?
몇 명을 보고 나서 결정할지(k)를 바꾸면, 최고를 뽑을 성공 확률이 달라져요. 곡선의 정점이 최적 — 놀랍게도 전체의 약 37% 지점이에요!
최적 관찰 비율은 1/e ≈ 0.368 (약 37%)이고, 그때 최고를 뽑을 확률도 약 37%예요. ‘무작정 빨리’도 ‘끝까지 재기’도 아닌 딱 37% 지켜보고 결정이 최선 — 집·배우자·주식 매도에도 회자되는 법칙이에요.
최적 관찰 비율 = 1/e ≈ 37%, 성공 확률 → 1/e
‘지금 멈출까, 더 볼까’를 최적으로 정하는 게 최적 정지 문제예요. 벨만의 사고를 무작위·연속시간으로 확장하면 해밀턴–야코비–벨만(HJB) 방정식이 나와, 옵션 행사·재고·투자 타이밍을 풀어요.
다음 회 예고 — 무작위로 흔들리는 값을 매 순간 최적 제어하려면? 칼만 필터와 확률제어로. → 확률미적분 제5회
『수요를 따라가는 수학 · 확률미적분』 제4회. 최적 정지(비서 문제) 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률미적분방으로