확률미적분 · 제3회
1·2회에서 무작위 경로를 만들었죠. 이제 그 무작위성을 계산 도구로 씁니다. 복잡해서 공식으로 못 푸는 넓이·적분·옵션 가격을, 무작위 점을 잔뜩 뿌려 근사하는 법 — 몬테카를로입니다.
한 변 1인 정사각형 안에 사분원을 그려요. 눈 감고 다트를 마구 던지면, 원 안에 맞는 비율이 무언가를 알려줘요. 무엇일까요?
사분원 넓이는 π/4, 정사각형은 1. 그러니 맞는 비율 × 4 ≈ π! 직접 던져 확인해요.
다트를 던지면 원 안(초록)·밖(빨강)으로 나뉘어요. 안에 든 비율 × 4가 π 추정값! 많이 던질수록 3.14159…에 다가가요.
적게 던지면 들쭉날쭉하지만, 많이 던질수록 추정값이 참 π에 수렴해요(큰 수의 법칙). 이렇게 무작위로 결정적인 값을 구하는 게 몬테카를로 — 금융에서 옵션 가격도 이 방식으로 계산해요.
π ≈ 4 × (원 안 점 수 / 전체 점 수)
공식이 없어도, 확률(비율)로 적분·넓이를 근사할 수 있어요. 차원이 높아질수록 이 방법이 더 강력하죠. 기하 브라운 운동으로 주가 경로를 수만 개 뽑아 평균 내면 옵션의 공정가격이 나와요 — 월가의 필수 도구예요.
다음 회 예고 — 흔들리는 값을 언제 사고팔지 최적으로 정하려면? 확률제어와 벨만의 연속판 HJB 방정식으로. → 확률미적분 제4회
『수요를 따라가는 수학 · 확률미적분』 제3회. 몬테카를로 π 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률미적분방으로