확률미적분 · 제2회
1회에서 ±1로 걷는 랜덤워크를 봤죠. 그런데 주가는 조금 달라요 — 1,000원짜리는 10원씩, 100만 원짜리는 1만 원씩 움직여요. 값에 비례하는 흔들림. 이걸 담은 게 기하 브라운 운동입니다.
주가는 추세(μ)로 서서히 오르내리면서, 동시에 변동성(σ)만큼 무작위로 떨려요. 이 둘을 어떻게 한 식에 담을까요?
이토의 방정식 dS = μS dt + σS dW — 흔들림이 가격 S에 비례해요. 슬라이더로 직접 주가를 만들어 봐요.
시작가 100. 추세 μ는 전체 방향, 변동성 σ는 떨림의 세기예요. σ를 키우면 경로들이 훨씬 제각각으로 흩어져요.
같은 μ·σ인데도 경로는 매번 달라요(무작위!). 하지만 로그 수익률은 정규분포를 따르고, 평균은 추세 μ로 결정돼요. 이 규칙성 덕분에 옵션 가격까지 계산할 수 있죠.
dS = μS dt + σS dW → 블랙–숄즈 옵션가격
주가를 이렇게 모형화하고 이토 공식을 쓰면, ‘미래에 특정 가격에 살 권리(옵션)’의 공정한 값이 딱 나와요. 1997년 노벨경제학상을 받은 블랙–숄즈–머튼 공식 — 현대 금융의 심장입니다.
다음 회 예고 — 흔들리는 값을 언제 사고팔지 최적으로 결정하려면? 확률제어와 HJB 방정식으로 — 벨만과 다시 만나요. → 확률미적분 제3회
『수요를 따라가는 수학 · 확률미적분』 제2회. 기하 브라운 운동 주가 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률미적분방으로