확률미적분 · 제1회

흔들리는 변화주가와 꽃가루는 매 순간 제멋대로 떨린다 — 이 변화를 어떻게 다루나?

1827년 식물학자 브라운은 물 위의 꽃가루가 제멋대로 떨리는 것을 봤어요. 주가도 초 단위로 그렇게 흔들려요. 이 곡선은 연속이지만 어디서도 매끄럽지 않아 — 보통 미적분으론 기울기(변화율)를 구할 수 없어요. 그래서 새 미적분이 필요했습니다.

01매끄럽지 않은 곡선

한 걸음마다 동전을 던져 위 아니면 아래로 무작위로 움직이는 점 — 이 랜덤워크의 ‘속도’는 얼마일까요?

한 점만 보면 갈피를 못 잡아요. 하지만 수많은 경로를 겹쳐 보면 놀라운 규칙이 드러납니다.

동전 던지듯 매 걸음 ±1로 움직이는 경로예요. 경로 하나는 제멋대로지만, 여러 개를 겹치면 √t 모양의 퍼짐(하늘색 곡선) 안에 대부분 모여요.

버튼을 눌러 무작위 걸음을 그려봐요.

평균 위치는 늘 0 근처지만, 퍼짐(표준편차)은 시간의 제곱근 √t에 비례해 커져요. 100걸음 뒤 퍼짐은 약 √100 = 10. 이 ‘퍼짐의 법칙’이 확률미적분의 심장입니다.

dX = μ dt + σ dW

확률미적분은 변화를 두 조각으로 봐요 — μ dt는 꾸준한 흐름(추세), σ dW는 무작위 흔들림. 이 이토(Itô) 방정식 하나로 주가·금리·입자·인구의 ‘흔들리는 변화’를 다루고, 블랙–숄즈 옵션가격까지 나와요.

점수 0 / 0

고교랜덤워크·√t 직관±1 걸음의 합. 평균 0, 퍼짐 √t. ‘무작위인데 규칙이 있다’는 감.

학부브라운운동·마팅게일랜덤워크의 극한 = 브라운운동(위너 과정). ‘내일의 기댓값=오늘’인 마팅게일.

대학원이토 적분·확률미분방정식(SDE)매끄럽지 않은 경로를 적분하는 이토 공식. 금융수학·필터링·확률제어의 언어.

다음 회 예고 — 값에 비례해 흔들리는 진짜 주가는? 기하 브라운 운동으로. → 확률미적분 제2회

『수요를 따라가는 수학 · 확률미적분』 제1회. 랜덤워크 시뮬레이터 + √t 퍼짐 + 자동채점. · 확률미적분방으로