확률 · 제6회
5회의 포아송으로 손님이 도착해요. 이제 줄(대기행렬)을 다뤄요. 처리 속도가 도착 속도보다 조금만 빨라도, 붐비면 줄이 걷잡을 수 없이 길어져요. 이게 큐잉 이론입니다.
손님이 시간당 λ명 오고, 직원이 시간당 μ명을 처리해요. μ이 λ보다 크면 괜찮을 것 같지만, 둘이 비슷해지면 대기 줄이 폭발해요. 왜죠?
도착이 무작위로 몰리기 때문이에요. 이용률 ρ=λ/μ가 1에 가까울수록 대기가 급증해요.
도착률 λ와 처리율 μ를 바꿔 보세요. 이용률 ρ=λ/μ가 1에 가까워지면 대기 인원과 시간이 폭발해요.
ρ가 0.9만 돼도 대기가 크게 늘고, ρ→1이면 무한대로 발산해요. 그래서 매장·서버·병원은 여유 용량을 둬요. ‘평균만 맞추면 된다’가 통하지 않는 게 대기행렬의 교훈이에요.
ρ = λ/μ · 평균 대기인원 L = ρ/(1−ρ) · 대기시간 W = 1/(μ−λ)
포아송 도착·지수 처리(M/M/1)일 때의 결과예요. ρ가 1에 다가가면 분모가 0에 가까워 폭발하죠. 콜센터·서버·교통·병원 응급실·통신망 설계의 기본 도구예요.
확률 6부작 완주! — 우연부터 대기행렬까지, 불확실성의 수학을 훑었어요. 궁금한 건 방의 Q&A 봇에! 🎉
『수요를 따라가는 수학 · 확률』 제6회. 대기행렬(M/M/1) 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률방으로