확률 · 제5회

드문 사건은 몇 번콜센터에 시간당 평균 3통 — 그런데 어떤 시간은 0통, 어떤 시간은 7통

4회에서 정규분포로 ‘퍼짐’을 봤죠. 그런데 드문 사건이 흩뿌려 일어나는 횟수는 다른 분포를 따라요. 사고·전화·방사선·오탈자처럼 ‘몇 번 일어나나’를 세는 포아송 분포입니다.

01평균은 알아도 매번 다르다

평균이 시간당 3통이라도, 실제로는 0통·1통·…·7통이 제각각 나와요. 각 횟수가 나올 확률은 어떻게 정해질까요?

‘아주 많은 순간, 각 순간 아주 작은 확률’로 일어나는 사건의 총 횟수 — 그 분포가 포아송이에요.

평균 발생률 λ를 바꾸면 포아송 분포(막대)가 변해요. 관측 시뮬을 누르면 실제 표본(연두)이 이론과 겹치는지 확인해요.

이론(포아송)관측 시뮬

평균 발생률 λ =3.0

λ를 바꾸고 관측을 돌려보세요. 평균=분산=λ 예요.

포아송의 신기한 성질 — 평균과 분산이 똑같이 λ예요! λ가 클수록 분포가 오른쪽으로 퍼지고, λ가 커지면 정규분포에 가까워져요. ‘드물게, 독립적으로’ 일어나는 사건이면 무엇이든 포아송을 따라요.

P(k번) = e^(−λ) · λ^k / k! , 평균 = 분산 = λ

큰 n·작은 p인 이항분포의 극한이 포아송이에요. 각 순간 확률은 미미해도, 순간이 아주 많으면 총 횟수가 이 분포를 따르죠. 콜센터·응급실 내원·서버 요청·방사성 붕괴·보험 청구가 전부 포아송으로 모형화돼요.

점수 0 / 0

고교포아송 분포·평균=분산드문 사건 횟수, P(k)=e^{-λ}λ^k/k!, 이항의 극한.

학부포아송 과정·지수 대기시간사건 발생의 연속시간 과정, 도착 간격의 지수분포, 무기억성.

대학원포아송 점과정·큐잉·신뢰성공간 점과정, 대기행렬(M/M/1)·신뢰성·보험 리스크 모형.

다음 회 예고 — 손님이 줄 서서 기다리는 시간은? 포아송 도착으로 푸는 대기행렬(큐잉) 이론으로. → 확률 제6회

『수요를 따라가는 수학 · 확률』 제5회. 포아송 분포 시뮬레이터 + 자동채점. · 확률방으로