기하 · 제6회

지도를 4색으로인접한 나라를 다른 색으로 — 세계 어떤 지도든 몇 색이면 될까?

5회의 그래프이론이 이어져요. 지도에서 맞닿은 나라는 다른 색으로 칠하려면 몇 색이 필요할까요? 100여 년의 난제였고, 답은 놀랍게도 단 4색 — 그리고 컴퓨터로 처음 증명된 정리예요.

01가운데를 둘러싼 다섯 나라

가운데 나라가 다섯 나라에 둘러싸이고, 그 다섯이 서로 고리처럼 맞닿아 있어요. 인접국이 겹치지 않게 칠하려면 몇 색이 필요할까요?

고리가 홀수(5)라 바깥만도 3색, 가운데가 그 셋 모두와 닿아 4색이 필요해요. 직접 칠해 확인!

02직접 해보기 — 지도 색칠

색을 고르고 나라를 클릭해 칠하세요. 맞닿은 나라가 같은 색이면 빨갛게 경고해요. 모두 충돌 없이 칠하면 성공!

색을 고르고 나라를 칠해 보세요.

아무리 애써도 3색으론 안 되고 4색이면 항상 가능해요. 4색 정리: 평면의 어떤 지도든 4색으로 충분! ‘나라=점, 인접=선’인 그래프 채색 문제로, 시간표·주파수 배정에도 쓰여요.

034색이면 충분하다

4색 정리 — 평면의 모든 지도는 4가지 색으로 칠할 수 있다

1976년 아펠과 하켄이 컴퓨터로 수천 경우를 확인해 증명한 첫 대형 정리예요(‘증명이란 무엇인가’ 논쟁도 일으켰죠). 본질은 그래프 채색 — 시간표·회의실·무선 주파수·레지스터 할당의 충돌 없는 배정 문제와 같아요.

04스스로 점검하기

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05더 깊이 — 세 개의 수심

고교지도 채색·4색 정리인접국 다른 색, 최소 색 수(채색수), 그래프로 바꿔 보기.
학부그래프 채색·채색수·평면성채색수 χ(G), 평면그래프, 5색 정리 증명, 채색 다항식.
대학원계산복잡도·NP-완전·확률적 방법일반 채색은 NP-완전, 스케줄링·레지스터 할당 응용.

기하 6부작 완주! — 피타고라스부터 4색 정리까지, 공간과 연결의 수학을 훑었어요. 궁금한 건 방의 Q&A 봇에! 🎉

『수요를 따라가는 수학 · 기하』 제6회. 4색 정리 지도 색칠 시뮬레이터 + 자동채점. · 기하방으로