기하 · 제5회
4회에서 ‘구멍’만 봤듯, 이제 연결 구조만 봐요 — 거리·모양은 잊고 ‘무엇이 무엇과 이어졌나’만. 1736년 오일러가 쾨니히스베르크 다리 문제를 풀며 그래프이론을 열었어요.
강으로 나뉜 네 땅을 7개의 다리가 잇고 있어요. 모든 다리를 딱 한 번씩만 건너 산책할 수 있을까요? 시민들이 오래 씨름했죠.
오일러는 땅을 점, 다리를 선으로 바꿔(그래프) 답했어요 — 핵심은 각 점에 연결된 다리 수(차수)였죠.
점을 클릭해 이어진 선(다리)을 따라 이동해요. 모든 선을 한 번씩 쓰면 성공! 두 그래프를 비교해 보세요.
비밀은 홀수 개의 선이 모인 점(홀수 꼭짓점)의 수예요. 한붓그리기는 홀수 꼭짓점이 0개 또는 2개일 때만 가능해요. 쾨니히스베르크는 4개 모두 홀수 → 불가능! 사각형+대각선은 2개뿐이라 가능하죠.
한붓그리기 가능 ⇔ 홀수 차수 꼭짓점이 0개 또는 2개
지나는 점마다 ‘들어온 선·나가는 선’이 짝을 이뤄야 해서, 홀수 점은 시작·끝에서만 허용돼요. 거리를 버리고 연결만 보는 이 발상이 지도·SNS·인터넷·회로·물류를 다루는 네트워크 과학의 씨앗이 됐어요.
다음 회 예고 — 네 나라 지도를 네 가지 색으로만 칠할 수 있을까? 4색 정리와 그래프 채색으로. → 기하 제6회
『수요를 따라가는 수학 · 기하』 제5회. 그래프 한붓그리기 시뮬레이터 + 오일러 경로 + 자동채점. · 기하방으로