기하 · 제4회
3회에서 ‘곡률’로 휘어진 공간을 봤죠. 이제 길이·각도·곡률을 아예 잊고 더 근본적인 것만 봐요 — ‘구멍이 몇 개인가’. 늘이고 주물러도 안 변하는 이 성질을 다루는 게 위상수학입니다.
찰흙 도넛을 찢지 않고 주물러 커피잔으로 만들 수 있어요(손잡이 구멍 = 잔의 구멍). 위상수학에선 이 둘이 같은 모양이에요. 무엇이 같을까요?
답은 구멍의 개수(종수, genus). 늘이기·구부리기로는 구멍 수가 안 변해요. 직접 세어봐요!
각 물건에 관통하는 구멍이 몇 개인지 맞혀보세요. 같은 구멍 수면 위상적으로 같은 친구예요!
도넛과 커피잔은 둘 다 구멍 1개라 위상적으로 똑같아요! 축구공은 0개, 숫자 8은 2개, 프레첼은 3개. 구멍 수(종수)가 같으면 늘여서 서로로 바꿀 수 있어요.
오일러 지표 χ = V − E + F = 2 − 2g (g = 구멍 수)
늘여도 변하지 않는 수를 위상 불변량이라 해요. 다면체의 꼭짓점−모서리+면 = 2는 항상 성립(구와 위상동형). 이 발상이 네트워크·DNA 매듭·데이터 위상분석(TDA)·물성물리(위상절연체)까지 뻗어요.
다음 회 예고 — 다리 7개를 한 번씩만 건너 제자리로? 그래프 이론을 연 쾨니히스베르크 다리 문제로. → 기하 제5회
『수요를 따라가는 수학 · 기하』 제4회. 위상수학 구멍 세기 + 오일러 지표 + 자동채점. · 기하방으로