기하 · 제3회

평행선은 정말2천 년간 ‘당연’했던 공리를 의심하자, 새로운 우주가 열렸다

유클리드의 다섯째 공준 — ‘평행선은 영원히 안 만난다’. 너무 당연해 보여 아무도 의심 안 했죠. 그런데 이걸 부정했더니 모순이 아니라 완전히 새로운 기하가 태어났어요. 곡면 위의 세계입니다.

01삼각형 내각의 합은 정말 180°?

평면에선 삼각형 내각의 합이 180°죠. 그런데 지구본 위에 삼각형을 그리면? 놀랍게도 180°를 넘어요. 왜일까요?

답은 곡률이에요. 면이 볼록하면(구면) 합이 커지고, 오목하면(안장) 작아져요. 슬라이더로 직접 휘어보세요.

02직접 해보기 — 면을 휘어보자

곡률 κ를 바꾸면 삼각형의 변이 바깥으로(볼록) 또는 안으로(오목) 휘어요. 그때 내각의 합이 어떻게 변하는지 보세요.

내각의 합 = 180°
κ=0은 평면 — 딱 180°예요.

볼록한 구면(κ>0)에선 합이 180°보다 크고, 오목한 안장면(κ<0)에선 작아요. 유클리드 기하(180°)는 곡률이 0인 특별한 경우였던 거죠!

03곡률이 기하를 정한다

내각의 합 = 180° + 곡률 × 넓이

평행선 공준을 바꾸면 구면기하(평행선 없음)와 쌍곡기하(평행선 여럿)가 나와요. 이 발상이 리만 기하로 자라, 아인슈타인의 일반상대성이론(휘어진 시공간)과 GPS·우주론의 언어가 됐어요.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교비유클리드 개념평행선 공준, 평면 vs 구면 vs 안장, 내각합과 곡률의 관계 직관.
학부구면·쌍곡기하·가우스 곡률대원·측지선, 가우스–보네 정리(내각합=180°+∬K), 곡면론.
대학원리만 기하·일반상대성계량텐서·리치곡률, 아인슈타인 방정식으로 휘어진 시공간.

다음 회 예고 — 찢거나 자르지 않고 늘리기만 하면 같은 모양? 도넛과 머그컵이 같은 위상수학으로. → 기하 제4회

『수요를 따라가는 수학 · 기하』 제3회. 곡률 삼각형 시뮬레이터 + 가우스–보네 직관 + 자동채점. · 기하방으로