기하 · 제2회

못 가는 곳의 높이피라미드 꼭대기에 자를 댈 수 없는데, 높이를 어떻게 알았을까?

기원전 6세기, 탈레스는 피라미드에 오르지 않고 그 높이를 쟀어요. 비결은 그림자. ‘같은 시각, 같은 햇빛’ 아래에선 모든 것의 (높이 : 그림자)가 똑같다 — 이 닮음이 측량의 문을 열었습니다.

01닿을 수 없는 것을 재는 법

내 키 1.5m, 내 그림자 1m. 같은 시각 피라미드 그림자가 92m라면, 피라미드 높이는? 올라가지 않고 알 수 있을까요?

키와 그림자가 만드는 삼각형은 모양이 똑같고 크기만 달라요(닮음). 그래서 비율이 같죠 — 이걸 쓰면 됩니다.

햇빛 각도(θ)를 바꾸면 막대와 나무의 그림자가 함께 길어지고 짧아져요. 하지만 (높이 ÷ 그림자) 비율은 둘이 항상 같아요. 그 비율로 나무 높이를 알아냅니다.

햇빛 각도 θ =45°

막대 1.5m, 그림자 m 나무 그림자 m → 나무 높이 = m

각도를 바꿔도 나무 높이 계산값은 그대로예요!

막대와 나무의 삼각형은 닮음이라 높이 : 그림자가 같아요. 그래서 나무높이 = 막대높이 × (나무그림자 ÷ 막대그림자). 각도가 변해도 답은 일정하죠.

tan θ = 높이 / 그림자 (닮은 직각삼각형이면 각이 같을 때 늘 같은 값)

‘각이 같으면 변의 비가 같다’를 표로 정리한 게 삼각비(sin·cos·tan)예요. 이 하나로 산의 높이·별까지 거리·GPS·건축을 재고, 나아가 파동·회전·푸리에까지 이어집니다.

점수 0 / 0

고교닮음·삼각비닮은 삼각형의 비, sin·cos·tan로 높이·거리 재기. 사인·코사인 법칙.

학부삼각함수·복소수·회전각을 함수로, 회전을 e^{iθ}로. 오일러 공식과 파동의 언어.

대학원푸리에 해석·미분기하모든 신호를 삼각파의 합으로. 곡면 위의 각·거리를 재는 리만 기하.

다음 회 예고 — 평행선은 정말 안 만날까? ‘당연한’ 공리를 의심하자 새 세계가 열렸어요. 비유클리드 기하로. → 기하 제3회

『수요를 따라가는 수학 · 기하』 제2회. 그림자 측량(닮음·tan) 시뮬레이터 + 자동채점. · 기하방으로