경제수학 · 제3회
1·2회에서 시장과 시간의 가치를 봤죠. 이제 개인의 선택이에요. 용돈은 정해졌는데 사고 싶은 건 많아요. 제약(예산) 아래에서 만족(효용)을 최대로 — 이 ‘제약 최적화’가 경제학과 공학의 핵심 도구입니다.
돈이 무한하면 다 사면 그만이죠. 하지만 예산이 한정돼 있으면, 무엇을 얼마씩 사야 가장 만족스러울까요?
‘살 수 있는 조합’은 예산선, ‘같은 만족을 주는 조합’은 무차별곡선. 둘이 딱 접하는 점이 최적이에요.
만족도 U = √(x·y). 주황 예산선 아래에서 가장 높은 보라 무차별곡선에 닿는 초록 점이 최적 소비예요. 용돈과 x의 가격을 바꿔 보세요.
x의 가격이 오르면 x를 덜 사요(초록 점이 왼쪽으로) — 수요법칙이 최적화에서 자연히 나와요. 최적점에선 ‘1원당 얻는 만족’이 모든 재화에서 같아요(한계효용 균등). 이 원리를 일반화한 게 라그랑주 승수법이에요.
max U(x,y) s.t. pₓx + p_yy = I → 접점(한계효용/가격 균등)
라그랑주 승수 λ는 ‘예산이 1원 늘 때 만족이 얼마 느는지’(제약의 그림자 가격)를 알려줘요. 이 방법으로 생산·투자·물류·머신러닝(제약 최적화)까지 풀어요 — 제약이 있는 모든 최선의 언어예요.
다음 회 예고 — 가격이 조금 바뀔 때 수요는 얼마나 민감할까? 의사결정과 정책의 열쇠 탄력성으로. → 경제수학 제4회
『수요를 따라가는 수학 · 경제수학』 제3회. 효용 최적화(예산선·무차별곡선) 시뮬레이터 + 자동채점. · 경제수학방으로