미적분 · 제6회
5회의 테일러 급수가 함수를 다항식으로 폈다면, 이번엔 사인·코사인의 합으로 펴요. ‘아무리 복잡한 주기 파형도 순수한 사인파들의 합’이라는 푸리에의 대담한 발상 — MP3·JPEG·통신의 뿌리입니다.
위아래로 뚝뚝 끊기는 사각파를, 부드러운 사인파들만 더해서 만들 수 있을까요? 각진 걸 둥근 걸로 만든다니 이상하죠.
놀랍게도 기본파 + 3배·5배·7배… 진동수의 사인파를 알맞은 크기로 더하면 사각파에 점점 가까워져요!
목표 사각파를 사인파들의 합으로 만들어요. 하모닉 개수를 늘리면 합이 점점 사각파에 가까워져요(모서리엔 작은 물결 — 깁스 현상).
하모닉이 많을수록 사각파에 가까워져요. 반대로, 주어진 파형을 사인파들로 분해하면 각 진동수가 얼마나 들어있는지 알 수 있죠 — 그게 푸리에 변환, 소리·이미지를 다루는 열쇠예요.
f(x) = a₀ + Σ ( aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx) )
어떤 주기함수든 진동수별 사인·코사인의 합으로 쪼갤 수 있어요(계수는 적분으로 구함). 이 ‘주파수로 보기’가 MP3·JPEG 압축·통신·영상처리·양자역학을 떠받쳐요 — 세상을 주파수의 눈으로 보는 거죠.
미적분 6부작 완주! — 미분·적분부터 푸리에까지, 변화와 파동의 수학을 훑었어요. 궁금한 건 방의 Q&A 봇에! 🎉
『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제6회. 푸리에 급수(사각파 합성) 시뮬레이터 + 자동채점. · 미적분방으로