미적분 · 제5회
컴퓨터는 사실 더하기·곱하기만 할 줄 알아요. 그런데 어떻게 sin(1)이나 e를 계산할까요? 비밀은 복잡한 함수를 다항식으로 바꾸는 것 — 한 점의 미분들만으로 함수 전체를 재현하는 테일러 급수입니다.
구불구불한 sin(x)를 x, x³, x⁵…의 조합(다항식)으로 흉내낼 수 있을까요? 항을 몇 개나 더해야 진짜와 비슷해질까요?
놀랍게도 한 점(0)에서의 미분값들만 알면, 그걸로 함수 전체를 점점 정확히 되살릴 수 있어요.
진짜 sin(x)와 테일러 다항식을 겹쳐봐요. 항의 개수를 늘리면 다항식이 sin을 점점 넓은 범위까지 껴안아요.
항이 1개면 sin(x)≈x(0 근처만), 늘릴수록 물결을 더 멀리까지 따라가요. 무한히 더하면 완전히 일치하죠. 계산기는 이렇게 몇 개 항만 더해 sin을 구해요.
f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)/2!·x² + f‴(0)/3!·x³ + ⋯
한 점에서의 기울기·휘어짐·…(고차 미분)만 알면 함수 전체를 재구성해요. sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ⋯ 이 발상이 계산기·물리 근사·수치해석을 떠받치고, eⁱˣ = cos x + i·sin x(오일러 공식)로도 이어져요.
다음 회 예고 — 어떤 주기함수든 사인·코사인의 합으로? 소리·이미지를 분해하는 푸리에 급수로. → 미적분 제6회
『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제5회. 테일러 급수 근사 시뮬레이터 + 자동채점. · 미적분방으로