미적분 · 제4회
3회에선 하나의 값이 변했죠. 현실에선 여러 값이 서로 얽혀 변해요. 토끼 수가 여우 수를 바꾸고, 여우 수가 다시 토끼 수를 바꾸죠. 이 맞물린 변화를 그리는 게 연립 미분방정식입니다.
토끼가 많으면 여우 먹이가 풍부해 여우가 늘고, 여우가 많으면 토끼가 줄고, 토끼가 줄면 여우도 굶어 줄고… 이 순환은 어떻게 흘러갈까요?
두 변화가 서로 의존하니 방정식도 두 개가 얽혀 있어요. 로트카–볼테라 방정식으로 직접 돌려봐요.
토끼가 늘면 조금 뒤 여우가 따라 늘고, 여우가 늘면 토끼가 줄어요. 여우의 사냥 효율을 바꿔 순환이 어떻게 달라지는지 보세요.
여우 곡선이 토끼 곡선을 한 박자 늦게 따라가요(위상 지연). 아무도 멈추라 하지 않는데 스스로 오르내리는 순환이 생기죠 — 얽힌 방정식이 만드는 놀라운 리듬이에요.
dx/dt = αx − βxy
dy/dt = δxy − γy
토끼 변화(x)는 여우(y)에, 여우 변화는 토끼에 달렸어요 — 그래서 따로 못 풀고 함께 풀어요. 같은 틀로 전염병(SIR)·화학반응·경제 경기순환·신경망의 얽힌 변화를 다뤄요.
다음 회 예고 — 어떤 함수든 다항식으로 근사할 수 있다면? sin·eˣ를 더하기·곱하기로 푸는 테일러 급수로. → 미적분 제5회
『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제4회. 로트카–볼테라 포식자–먹이 시뮬레이터 + 자동채점. · 미적분방으로