미적분 · 제3회

변화의 규칙으로세균·방사능·식는 커피의 공통점 — 변화 속도가 ‘지금 양’에 비례한다

1·2회에서 미분(변화율)과 적분(누적)을 만났죠. 이제 둘을 엮어요 — 변화 속도가 현재 상태에 달린 관계식, 미분방정식. 이 한 줄이 세상의 미래 전체를 그려냅니다.

01세균·방사능·커피의 공통점

세균은 많을수록 빨리 늘고, 방사성 물질은 많을수록 빨리 붕괴하고, 뜨거운 커피는 뜨거울수록 빨리 식어요. 이 공통 규칙을 한 줄로 쓰면?

변화율(dy/dt)이 현재 양(y)에 비례 — dy/dt = k·y. 이 관계만 알면 미래 곡선이 통째로 정해져요.

02직접 해보기 — 비례상수 k

시작값 100. k > 0이면 지수 성장(세균), k < 0이면 지수 붕괴(방사능·냉각)예요. k를 바꿔 배가시간·반감기가 어떻게 변하는지 보세요.

0.20
k를 오른쪽으로 올리면 성장이 폭발해요.

해는 y = y₀·e^(kt) — 여기서 자연상수 e가 등장해요. ‘스스로에 비례해 자라는’ 모든 것의 밑바탕이죠. 미분방정식은 자연법칙을 적는 언어예요.

03미래를 적는 한 줄

dy/dt = k·y → y(t) = y₀ e^(kt)

‘지금 이 순간의 규칙(미분방정식)’만 알면, 적분해서 모든 시각의 값을 알 수 있어요. 뉴턴은 이 언어로 행성의 운동·냉각·진동·전기회로를 적었고, 인구·전염병·경제까지 같은 방식으로 예측해요.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교지수 성장·붕괴dy/dt=ky의 해 y₀e^{kt}, 배가시간·반감기, 자연상수 e.
학부1계·2계 미분방정식·로지스틱선형/비선형, 진동(용수철), 한계가 있는 로지스틱 성장(S곡선).
대학원편미분방정식·동역학계·카오스열·파동·확산 방정식, 안정성·분기, 나비효과의 카오스.

다음 회 예고 — 하나의 값이 아니라 여러 값이 서로 얽혀 변할 땐? 포식자–먹이, 감염 확산을 그리는 연립 미분방정식으로. → 미적분 제4회

『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제3회. 지수 성장·붕괴 미분방정식 시뮬레이터 + 자동채점. · 미적분방으로