미적분 · 제2회
1회에서 순간의 속도(미분)를 붙잡았죠. 이제 반대예요. 속도–시간 그래프에서 곡선 아래 넓이는 이동한 거리가 돼요. 직사각형은 쉬운데, 곡선 아래는 어떻게 잴까요?
직사각형·삼각형 넓이는 공식이 있죠. 그런데 휘어진 곡선 아래 넓이는 어떤 공식으로 구할까요?
고대 아르키메데스의 아이디어 — 잘게 쪼갠 직사각형으로 채워 더하자. 많이 쪼갤수록 참값에 가까워져요.
곡선 y = x² 아래(0에서 1까지) 넓이를 n개의 직사각형으로 채워요. 슬라이더로 n을 늘리면 넓이 추정값이 참값 1/3 ≈ 0.333에 다가가요.
직사각형을 무한히 잘게 쪼갠 합의 극한 — 그게 정적분이에요. 잘게 쪼갤수록 삐죽한 오차가 사라지고 참값 1/3만 남죠.
∫₀¹ x² dx = [ x³/3 ]₀¹ = 1/3
놀라운 사실 — 넓이를 구하는 적분과 기울기를 구하는 미분은 서로 역연산이에요(미적분 기본정리). 그래서 잘게 더할 필요 없이, 미분하면 x²이 되는 함수(x³/3)만 찾으면 넓이가 바로 나와요. 뉴턴·라이프니츠의 혁명이죠.
다음 회 예고 — 변화가 변화를 낳는 관계식, 미분방정식으로. 인구·냉각·진동을 예측하는 법. → 미적분 제3회
『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제2회. 리만합 시뮬레이터 + 기본정리 + 자동채점. · 미적분방으로