미적분 · 제1회
자동차 계기판의 순간 속도는 어떻게 나올까? “한 시간에 60km”는 평균일 뿐, 바로 지금의 속도가 아니에요. 이 ‘순간’을 붙잡으려는 문제에서 미적분이 태어났습니다.
공을 굴렸더니 t초에 s = t² (미터)만큼 갔어요. 1초일 때 바로 그 순간의 속도는?
속도 = 간 거리 ÷ 걸린 시간. 그런데 ‘순간’은 시간이 0이에요. 거리 ÷ 0?! 어떻게 하죠?
아이디어: 아주 짧은 시간 h 동안의 평균 속도를 재고, h를 점점 0에 가깝게 줄여보자.
파란 두 점 사이의 평균 속도(할선의 기울기)를 봐요. 슬라이더로 h를 0에 가깝게 줄이면, 파란 할선이 초록 접선에 딱 붙어요!
h가 0에 가까워질수록 평균 속도가 2에 다가가죠? 이 다가가는 값(극한)이 바로 1초에서의 순간 속도예요.
기호로 보면: 평균 속도 = ((1+h)² − 1²) / h = (2h + h²)/h = 2 + h. 여기서 h를 0으로 보내면 → 2.
s = t² 의 순간 속도 = 2t
이렇게 순간의 변화율을 구하는 것이 미분(도함수)이에요. 그래프에서는 그 점 접선의 기울기! 이 하나의 아이디어로 속도·가속도·최적화가 전부 열립니다.
다음 회 예고 — 순간 속도를 알았으니, 이번엔 반대로 — 속도를 알 때 간 거리(넓이)를 어떻게 구할까? 곡선 아래를 잘게 쪼개 더하는 적분으로. → 제2회 · 잘게 쪼개 더하다: 적분
『수요를 따라가는 수학 · 미적분』 제1회. 인터랙티브 도해 + 자동채점 점검문제. · 미적분방으로