대수 · 제6회
대수방의 마지막 — 수를 넘어 ‘연산이 있는 구조’ 자체를 봐요. 시계는 12를 넘으면 다시 돌아오죠. 9 + 5 = 14 → 2시. 이렇게 나머지로 계산하는 산술(모듈러)이 암호·요일 계산의 뿌리이고, 추상대수의 입구예요.
지금 9시, 5시간 뒤는? 9+5=14인데 시계엔 14시가 없어요. 12를 빼서 2시가 되죠. 왜 이렇게 계산할까요?
시계는 12로 나눈 나머지로 돌아가요. 14 ÷ 12 = 나머지 2. 이걸 ‘14 ≡ 2 (mod 12)’라고 써요.
지금 시각과 더할 시간을 바꾸면, 시곗바늘이 돌아서 결과를 가리켜요. 12를 넘으면 나머지만 남죠.
이렇게 (a + b) mod 12 — 나머지로 계산하는 합동 산술이에요. 12 대신 다른 수로도 되죠(요일은 mod 7). 이 ‘돌아오는 수의 세계’가 암호(RSA)·해시·오류검출의 기초이고, ‘수 자체’가 아니라 연산 구조(군·환·체)를 연구하는 추상대수의 첫걸음이에요.
a ≡ b (mod n) : n으로 나눈 나머지가 같다
대수는 특정 숫자가 아니라 ‘어떻게 더하고 곱하는가(구조)’를 봐요. 시계(mod 12)도 하나의 군(group)이죠. 이 추상화가 암호학·부호이론·물리 대칭성·갈루아 이론으로 이어져요. 수를 넘어 구조를 다루는 게 현대 대수예요.
대수 6부작 완주! — 미지수부터 추상 구조까지, 수를 대신하는 문자의 힘을 훑었어요. 궁금한 건 방의 Q&A 봇에! 🎉
『수요를 따라가는 수학 · 대수』 제6회. 시계 모듈러 산술 시뮬레이터 + 자동채점. · 대수방으로