대수 · 제5회
x²+5x+6=0을 어떻게 풀까요? 이걸 (x+2)(x+3)=0으로 쪼개면 답이 바로 보여요 — x=−2 또는 x=−3. 이렇게 식을 곱셈의 형태로 나누는 게 인수분해. 그 원리를 넓이 그림으로 봅시다.
가로 (x+p), 세로 (x+q)인 직사각형의 넓이는? 네 조각으로 나뉘어요 — x², px, qx, pq. 다 더하면?
(x+p)(x+q) = x² + (p+q)x + pq. 가운데 계수는 두 수의 합, 상수항은 두 수의 곱이에요!
p, q를 바꾸면 직사각형 네 조각이 변해요. 각 조각 넓이를 더하면 전개식이 나와요. 거꾸로 읽으면 그게 인수분해예요!
그러니까 x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q). 인수분해는 이걸 거꾸로 — 상수항이 되는 곱과 가운데 계수가 되는 합을 만드는 두 수를 찾는 거예요. x²+5x+6이면 곱해서 6, 더해서 5인 두 수 = 2와 3!
x² + (p+q)x + pq = (x + p)(x + q)
합이 가운데, 곱이 끝인 두 수를 찾으면 끝. 곱=0이면 둘 중 하나가 0이라 방정식이 쉽게 풀려요. 인수분해는 방정식 풀이·약분·암호(소인수분해)의 핵심 도구예요.
다음 회 예고 — 9시에서 5시간 뒤가 2시인 이유는? 수를 넘어 ‘구조’를 다루는 시계 산술로. → 대수 제6회
『수요를 따라가는 수학 · 대수』 제5회. 인수분해 넓이 모델 시뮬레이터 + 자동채점. · 대수방으로