대수 · 제4회

있을 수 없는 수제곱해서 −1이 되는 수? — 상상의 수 i를 받아들이다

3회에서 판별식이 음수면 실근이 없다 했죠. √(−1)이 필요했거든요. “제곱해서 −1인 수는 없어!”라며 다들 외면했지만, 용감하게 그 수를 i라 부르고 받아들이자 — 모든 방정식이 풀리는 새 세계가 열렸어요.

01제곱해서 음수?

어떤 실수든 제곱하면 0 이상이에요(음수 없음). 그런데 x²=−1의 답은? 실수엔 없어요. 그래서 i² = −1인 새 수 i를 만들었어요. 이게 대체 뭘까요?

비밀 — i를 곱하는 건 90° 회전이에요! 수를 평면 위 화살표로 보면, i는 ‘돌리는 수’예요. 직접 돌려봐요.

02직접 해보기 — i는 90° 회전

복소수 z = a + b·i를 평면 위 화살표로 그려요(가로=실수, 세로=허수). ×i 버튼을 누르면 화살표가 90° 회전해요!

z = 1 + 0i
1
0
×i를 눌러 화살표가 90° 도는 걸 보세요. 1 → i → −1 → −i → 1!

1에서 ×i를 두 번 하면 1 → i → −1. 90°를 두 번 돌면 180°(반대 방향)! 그래서 i² = −1이에요. 복소수 a+bi는 평면 위의 점이고, 곱셈은 회전+확대예요. 이 덕분에 전기·신호·양자역학을 다룰 수 있어요.

03복소수 — 평면 위의 수

i² = −1 , z = a + b·i (복소평면의 점)

‘있을 수 없다’던 수를 받아들이자 모든 다항방정식이 답을 갖게 됐어요(대수학의 기본정리). 복소수는 회전·파동·교류전기·양자상태·프랙탈의 자연스러운 언어예요. 상상이 현실을 푸는 열쇠가 된 거죠.

04스스로 점검하기

점수 0 / 0

05더 깊이 — 세 개의 수심

고교복소수·복소평면·i의 회전a+bi, i²=−1, 켤레·절댓값, ×i=90° 회전.
학부극형식·오일러 공식·복소해석e^{iθ}=cosθ+isinθ, 편각·크기, 정칙함수·유수정리.
대학원리만면·대수적 폐체·표현론복소다양체, 대수적 폐체 ℂ, 양자역학·게이지이론.

다음 회 예고 — 복잡한 식을 곱셈으로 쪼개면 술술 풀려요. 인수분해와 넓이의 그림으로. → 대수 제5회

『수요를 따라가는 수학 · 대수』 제4회. 복소평면 ×i 회전 시뮬레이터 + 자동채점. · 대수방으로