대수 · 제3회
넓이가 12인 직사각형인데 가로가 세로보다 1 길다면? x(x+1)=12 → x²+x−12=0. 이런 이차방정식은 답이 둘일 수 있어요. 포물선을 그려보며 그 답들을 눈으로 찾아봅시다.
ax² + bx + c = 0의 답은, 포물선 y = ax²+bx+c가 가로축(y=0)에 닿는 x예요. 포물선은 U자라 두 곳에서 닿을 수 있죠. 어디일까요?
닿는 점이 둘·하나·없음일 수 있어요. 그걸 미리 알려주는 게 판별식이에요.
a, b, c를 바꿔 포물선을 움직여봐요. 가로축과 만나는 초록 점(근)이 방정식의 답이에요. 판별식 D = b²−4ac가 근의 개수를 정해요.
근은 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a — 근의 공식이에요. D>0이면 근 두 개(포물선이 축을 두 번 통과), D=0이면 한 개(살짝 닿음), D<0이면 실근 없음(축에 안 닿음 → 다음 회의 복소수로!).
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a , D = b²−4ac
√ 안(판별식)이 양수면 ±로 두 답, 0이면 하나, 음수면 실수로는 답이 없어요. 이차방정식은 포물체 운동·최적화·경제·공학 어디에나 나와요. 고대 바빌로니아부터 풀어온 문제죠.
다음 회 예고 — 판별식이 음수면? √(−1) — ‘있을 수 없는 수’ 복소수의 세계로. → 대수 제4회
『수요를 따라가는 수학 · 대수』 제3회. 이차방정식 포물선 시뮬레이터 + 자동채점. · 대수방으로