통계 · 제1회

표본으로 전체를 읽다1,000명에게 물어 5,000만 명의 마음을 어떻게 알까?

전 국민에게 물어볼 순 없어요. 그래서 일부(표본)만 조사해 전체(모집단)를 추측하죠. 그런데 “고작 1,000명”이 어떻게 믿을 만할까요? 그 비밀이 통계에서 가장 아름다운 정리, 중심극한정리예요.

01고작 표본을 믿어도 될까

주사위 하나는 1~6이 고르게(평평하게) 나와요. 그런데 5개를 굴려 평균을 내면 값이 어디에 쌓일까요?

평평한 주사위인데도, 평균을 모으면 신기하게 가운데(3.5)로 종모양이 생겨요. 직접 확인해 봐요.

버튼을 누르면 주사위 5개를 굴려 평균을 낸 뒤, 그 값을 아래 히스토그램에 쌓아요. 많이 모을수록 3.5를 중심으로 한 종모양(정규분포)이 나타나요.

모은 표본 0개전체 평균 — (참값 3.5)

버튼을 눌러 표본평균을 쌓아 봐요.

이것이 중심극한정리 — 어떤 모양의 모집단이든, 표본평균은 정규분포(종모양)로 모여요. 중심은 참평균이고, 표본이 클수록 종이 좁아져 더 정확해집니다.

표본평균의 퍼짐 = σ / √n

표본 크기 n을 4배로 늘리면 오차(퍼짐)는 √4=2배로 줄어요. 그래서 여론조사는 표본 수가 관건이죠. 이 하나로 신뢰구간·오차범위·가설검정 — 데이터로 진실을 판단하는 통계 전체가 나옵니다.

점수 0 / 0

고교평균·표준편차·정규분포데이터의 중심(평균)과 퍼짐(표준편차), 그리고 종모양 정규분포 읽기.

학부중심극한정리·신뢰구간·가설검정표본으로 모수를 추정하고, ‘우연일까 진짜일까’를 p값으로 판단.

대학원추정론·베이즈·회귀최대우도·베이즈 추론·일반화선형모형. 머신러닝의 통계적 토대.

다음 회 예고 — 데이터로 판단하는 힘은 결국 결정으로 이어져요. 서로 눈치 볼 때 최선의 선택, 게임이론으로. → 게임이론 방

『수요를 따라가는 수학 · 통계』 제1회. 중심극한정리 시뮬레이터 + 자동채점. · 통계방으로